Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x+1)(x-3)\) jest malejąca w przedziale:

A \(\langle1,+\infty)\)
B \((-\infty,1\rangle\)
C \((-\infty,-8\rangle\)
D \(\langle-8,+\infty)\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji kwadratowej. Funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej, zatem bez problemu możemy wyznaczyć jej miejsca zerowe. W tym celu wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera: $$x+1=0 \quad\lor\quad x-3=0 \           ,\ x=-1 \quad\lor\quad x=3$$ Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Funkcja ma współczynnik kierunkowy \(a=-2\) (czyli ujemny), zatem nasza parabola będzie wyglądać następująco: Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że funkcja maleje od wierzchołka aż do nieskończoności, zatem musimy poznać współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli. Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli. Z własności parabol wynika, że współrzędna \(p\) jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych funkcji kwadratowej (ponieważ wierzchołek znajduje się w jednakowej odległości od obydwu miejsc przecięcia się paraboli z osią \(OX\)). Skoro tak, to: $$p=\frac{-1+3}{2} \           ,\ p=\frac{2}{2} \           ,\ p=1$$ Krok 4. Ustalenie przedziału, w którym funkcja jest rosnąca. Zgodnie z tym co sobie powiedzieliśmy, skoro \(p=1\), to funkcja maleje w przedziale \(\langle1,+\infty)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania