Maksymalny przedział otwarty, w którym funkcja \(f(x)=-4x^2+16x-23\) jest rosnąca, to:

A \((-\infty,2)\)
B \((-\infty,-2)\)
C \((-\infty,-7)\)
D \((7,+\infty)\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy naszkicować wykres paraboli. Na pewno ramiona paraboli będą skierowane do dołu, bo współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny. Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób: Z rysunku wynika dość wyraźnie, że nasza funkcja będzie rosnąć od minus nieskończoności aż dotrze do wierzchołka. To właśnie w wierzchołku się potem odbije i zacznie maleć. Wniosek z tego taki, że musimy obliczyć współrzędną iksową naszego wierzchołka (potocznie zapisywaną jako \(p\)). Krok 2. Obliczenie współrzędnej iksowej wierzchołka. Współrzędną \(p\) obliczymy ze wzoru: $$p=\frac{-b}{2a}$$ W naszym przypadku współczynniki wynoszą odpowiednio: \(a=-4, b=16, c=-23\), zatem: $$p=\frac{-16}{2\cdot(-4)} \           ,\ p=\frac{-16}{-8} \           ,\ p=2$$ Krok 3. Zapisanie przedziału. Wiemy już, że współrzędna iksowa wierzchołka jest równa \(p=2\), zatem funkcja ta rośnie w przedziale \(x\in(-\infty, 2)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania