Liczba \(\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}\) jest równa:

A \(-\frac{1}{2}\)
B \(2\)
C \(-2\)
D \(\frac{1}{2}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
To zadanie najprościej będzie rozwiązać obliczając oddzielnie \(log_{3}27\) oraz \(log_{3}\sqrt{27}\). Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego logarytmu. Wartość logarytmu \(log_{3}27\) jesteśmy w stanie policzyć w pamięci, bo do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(27\)? Oczywiście do potęgi \(3\), gdyż \(3^3=27\). To oznacza, że: $$log_{3}27=3$$ Krok 2. Obliczenie wartości drugiego logarytmu. Drugi logarytm jest nieco trudniejszy, ale obliczymy go tak jak każdy inny logarytm, czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi: $$log_{3}\sqrt{27}=x \Rightarrow 3^x=\sqrt{27}$$ Aby rozwiązać to równanie to będziemy musieli teraz sprowadzić \(\sqrt{27}\) do postaci potęgi o podstawie równej \(3\). Pamiętając o tym, że \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\) otrzymamy: $$3^x=\sqrt{27} \           ,\ 3^x=\sqrt[2]{3^3} \           ,\ 3^x=3^\frac{3}{2} \           ,\ x=\frac{3}{2}$$ Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia. W liczniku otrzymaliśmy wartość równą \(3\), w mianowniku wyszło nam \(\frac{3}{2}\), w związku z tym: $$\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=3:\frac{3}{2}=3\cdot\frac{2}{3}=2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania