Liczba \(log_{\sqrt{2}}4^8\) jest równa:

A \(2\)
B \(4\)
C \(32\)
D \(16\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Logarytm możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie tutaj zastosować po prostu definicję logarytmu, czyli: $$log_{\sqrt{2}}4^8=x \quad\Leftrightarrow\quad \sqrt{2}^x=4^8$$ Aby rozwiązać równanie \(\sqrt{2}^x=4^8\) musimy doprowadzić lewą i prawą stronę do jednakowej podstawy potęgi. W naszym przypadku najprościej będzie sprowadzić obydwie liczby do dwójki, pamiętając o tym, że \(\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}\) i że \(4=2^2\). W związku z tym: $$(\sqrt{2})^x=4^8 \           ,\ {2^{\frac{1}{2}}}^x={2^2}^8 \           ,\ 2^{\frac{1}{2}x}=2^{16}$$ Doprowadziliśmy do jednakowych podstaw potęg, zatem możemy porównać wykładniki: $$\frac{1}{2}x=16 \           ,\ x=32$$ To oznacza, że rozwiązaniem tego logarytmu jest właśnie liczba \(32\).

Teoria:      
W trakcie opracowania