Suma \(\log_{8}16+1\) jest równa:

A \(3\)
B \(\frac{3}{2}\)
C \(\log_{8}17\)
D \(\frac{7}{3}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości logarytmu. Najpierw obliczmy wartość \(\log_{8}16\). Z definicji logarytmu wiemy, że: $$\log_{8}16=x \Longleftrightarrow 8^{x}=16$$ Widzimy wyraźnie, że wynik tego logarytmu nie jest liczbą całkowitą, bo nie istnieje taka liczba całkowita, do której można podnieść liczbę \(8\), by otrzymać \(16\). Przykładowo \(8^1=8\), natomiast \(8^2=64\). Wynik naszego logarytmu jest więc gdzieś pomiędzy jedynką i dwójką (nawet możemy stwierdzić, że jest bliżej jedynki). Skoro nie obliczymy tego logarytmu w pamięci to musimy zamienić ósemkę i szesnastkę na potęgi o wspólnej podstawie: $$8^{x}=16 \           ,\ (2^3)^x=2^4 \           ,\ 2^{3x}=2^4$$ Po doprowadzeniu liczb do wspólnej podstawy możemy teraz porównać wykładniki potęg: $$3x=4 \           ,\ x=\frac{4}{3}$$ W ten sposób udało nam się obliczyć, że \(\log_{8}16=\frac{4}{3}\). Krok 2. Obliczenie wartości całego wyrażenia. $$\log_{8}16+1=\frac{4}{3}+\frac{3}{3}=\frac{7}{3}$$ Podpowiedź: Kluczowe jest wyliczenie logarytmu i wiele osób ma z tym problem. Pokażę więc jak drogą dedukcji i eliminacji można rozwiązać to zadanie. Musimy sobie odpowiedzieć na pytanie do jakiej potęgi trzeba podnieść \(8\), aby otrzymać \(16\). No na pewno nie do potęgi pierwszej, bo \(8^1=8\), ani nie do drugiej, bo \(8^2=64\). Widzimy, że wartość tego logarytmu musi być czymś pomiędzy jedynką i dwójką. Do tego mamy dodać jeszcze \(1\), więc wynik powinien być większy niż \(2\) i mniejszy niż \(3\). Taki wynik jest tylko w ostatniej odpowiedzi i w ten oto sposób nawet nie wykonując obliczeń możemy zaznaczyć prawidłową odpowiedź.

Teoria:      
W trakcie opracowania