W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna tworzy z podstawą kąt \(45°\), a krawędź podstawy ma długość \(\sqrt{8}\). Objętość tego graniastosłupa jest równa:

A \(64\)
B \(32\)
C \(8\sqrt{8}\)
D \(4\sqrt{8}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy sobie tę sytuację, zaznaczając odpowiednie miary na graniastosłupie: Kluczową obserwacją jest dostrzeżenie, że tak naprawdę długość przekątnej podstawy jest równa wysokości graniastosłupa. Skąd to wiemy? Zaznaczony na rysunku trójkąt to charakterystyczny trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\) a więc trójkąt równoramienny. Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy oraz wysokości graniastosłupa. W podstawie mamy kwadrat, a z własności kwadratów wiemy, że ich przekątną można obliczyć ze wzoru \(d=a\sqrt{2}\). Skoro krawędź podstawy ma długość \(a=\sqrt{8}\), to: $$d=a\sqrt{2} \           ,\ d=\sqrt{8}\cdot\sqrt{2} \           ,\ d=\sqrt{16} \           ,\ d=4$$ Tym samym, zgodnie z informacją omówioną w kroku pierwszym, możemy zapisać, że także \(H=4\). Krok 3. Obliczenie objętości graniastosłupa. Obliczenie objętości jest już tylko formalnością: $$V=P_{p}\cdot H \           ,\ V=\sqrt{8}\cdot\sqrt{8}\cdot4 \           ,\ V=8\cdot4 \           ,\ V=32$$

Teoria:      
W trakcie opracowania