Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o długości \(d\) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem a takim, że \(sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Objętość tego graniastosłupa wyraża się wzorem:

A \(\frac{\sqrt{2}}{2}d^3\)
B \(\frac{\sqrt{2}}{4}d^3\)
C \(\frac{\sqrt{2}}{8}d^3\)
D \(\frac{\sqrt{2}}{10}d^3\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie miary kąta \(\alpha\). Z tabelki trygonometrycznej musimy odczytać jaką miarę przyjmuje kąt dla sinusa równego \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). Spoglądając do tak zwanej małej tabelki widzimy, że będzie to miara \(45°\). Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Nasz graniastosłup jest prawidłowy czworokątny, czyli w podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco: Zwróć uwagę, że powstał nam trójkąt równoramienny, w którym wysokość \(H\) będzie miała taką samą długość jak przekątna podstawy \(b\). Z własności kwadratów wiemy, że \(b=a\sqrt{2}\), zatem \(H=a\sqrt{2}\). Dodatkowo przekątna graniastosłupa \(d\) będzie \(\sqrt{2}\) razy większa od przekątnej podstawy \(b\), czyli \(d=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2a\). Krok 3. Zapisanie objętości graniastosłupa. Wzór na objętość graniastosłupa to w tym przypadku: $$V=a^2\cdot H \           ,\ V=a^2\cdot a\sqrt{2} \           ,\ V=a^3\cdot\sqrt{2}$$ Chcąc dopasować się do odpowiedzi, musimy jeszcze nasz wynik przekształcić. Wiedząc, że \(d=2a\), czyli że \(a=\frac{1}{2}\), otrzymamy: $$V=\left(\frac{1}{2}d\right)^3\cdot\sqrt{2} \           ,\ V=\frac{1}{8}d^3\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}d^3$$

Teoria:      
W trakcie opracowania