W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o \(4\) krótsza od przekątnej podstawy i o \(8\) krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.

Odpowiedź:      

\(\sinα=\frac{3}{5}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Spróbujmy narysować ten graniastosłup, oznaczając na nim dane z treści zadania. Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania. Z kluczowych odcinków powstał nam trójkąt prostokątny, dzięki czemu będziemy w stanie skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa. Możemy zatem zapisać, że: $$(H+4)^2+H^2=(H+8)^2 \\ H^2+8H+16+H^2=H^2+16H+64 \           ,\ 2H^2+8H+16=H^2+16H+64 \           ,\ H^2-8H-48=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-48\) $$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-48)=64-(-192)=64+192=256 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$ $$H_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-16}{2\cdot1}=\frac{8-16}{2}=\frac{-8}{2}=-4 \           ,\ H_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+16}{2\cdot1}=\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=12\). Krok 4. Obliczenie wartości sinusa. Zgodnie z naszym rysunkiem oraz zgodnie możemy zapisać, że: $$sinα=\frac{H}{H+8} \           ,\ sinα=\frac{12}{12+8} \           ,\ sinα=\frac{12}{20} \           ,\ sinα=\frac{3}{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania