W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym (zobacz rysunek poniżej) punkt \(O\) jest punktem przecięcia przekątnych podstawy dolnej, a odcinek \(OC'\) jest o \(4\) dłuższy od przekątnej podstawy. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) podstawy dolnej i wierzchołek \(C'\) podstawy górnej. Pole figury otrzymanej w wyniku przekroju jest równe \(48\). Zaznacz tę figurę na rysunku poniżej i oblicz objętość graniastosłupa.

Odpowiedź:      

\(V=256\sqrt{2}\) (pamiętaj o zaznaczeniu figury na rysunku!)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Na początek nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji wykonajmy jeden z celów tego zadania, czyli zaznaczmy poszukiwaną figurę: Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\). Odcinek \(BD\) jest podstawą naszego trójkąta, który znalazł się w przekroju. Jeżeli oznaczymy sobie tę długość jako \(d\), to z treści zadania wynika, że wysokość tego trójkąta \(OC'\) ma długość \(d+4\). Skoro pole trójkąta jest równe \(48\), to otrzymamy następujące równanie: $$P=\frac{1}{2}ah \           ,\ 48=\frac{1}{2}\cdot d\cdot(d+4) \           ,\ 48=\frac{1}{2}d^2+2d \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ 96=d^2+4d \           ,\ d^2+4d-96=0$$ Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które możemy rozwiązać obliczając klasyczną deltę: Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\) $$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=16+384=400 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$ $$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\ d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$ Otrzymaliśmy dwie możliwości, ale ujemny wynik musimy odrzucić, bo długość przekątnej podstawy musi być liczbą dodatnią. W związku z tym \(d=8\). Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa. Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OCC'\). Dolna podstawa będzie miała długość połowy przekątnej (którą przed chwilą wyznaczyliśmy). Możemy nawet zapisać, że: $$|OC|=\frac{1}{2}d \           ,\ |OC|=\frac{1}{2}\cdot8 \           ,\ |OC|=4$$ Praktycznie znamy też długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, bo z treści zadania wynika, że jest ona o \(4\) dłuższa od przekątnej podstawy, zatem: $$|OC'|=d+4 \           ,\ |OC'|=8+4 \           ,\ |OC'|=12$$ Znając miary dwóch boków trójkąta \(OCC'\) możemy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość trzeciego boku, który jest jednocześnie wysokością naszego graniastosłupa: $$|OC|^2+H^2=|OC'|^2 \           ,\ 4^2+H^2=12^2 \           ,\ 16+H^2=144 \           ,\ H^2=128 \           ,\ H=\sqrt{128} \quad\lor\quad H=-\sqrt{128}$$ Wysokość nie może być oczywiście ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{128}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\). Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy. Wiemy już, że w podstawie znajduje się kwadrat o przekątnej długości \(d=8\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem: $$a\sqrt{2}=8 \           ,\ a=\frac{8}{\sqrt{2}} \           ,\ a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \           ,\ a=\frac{8\sqrt{2}}{2} \           ,\ a=4\sqrt{2}$$ Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa. W podstawie graniastosłupa znajduje się kwadrat o boku \(a=4\sqrt{2}\), wiemy też że wysokość bryły jest równa \(H=8\sqrt{2}\), zatem: $$V=P_{p}\cdot H \           ,\ V=a^2\cdot H \           ,\ V=(4\sqrt{2})^2\cdot8\sqrt{2} \           ,\ V=16\cdot2\cdot8\sqrt{2} \           ,\ V=256\sqrt{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania