Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(α\).







Wtedy wartość \(sin\frac{α}{2}\) jest równa:

A \(\frac{2}{3}\)
B \(\frac{\sqrt{7}}{3}\)
C \(\frac{\sqrt{7}}{7}\)
D \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Pierwszą rzeczą którą musimy zauważyć, to że trójkąc \(ABC\) jest równoramienny. Jego ramiona mają długość \(3\), a podstawa jest równa \(|CB|=2\sqrt{2}\). Skąd wiemy, że to jest dokładnie taka długość podstawy? Jest to po prostu przekątna kwadratu o boku \(2\). Jeżeli z miejsca przecięcia się tych przekątnych (punkt \(P\)) poprowadzimy prostą do wierzchołka \(A\) to otrzymamy tak naprawdę dwusieczną kąta \(α\) (bo jest to wysokość trójkąta równoramiennego, a ta dzieli kąt na dwie równe części). Mamy więc już interesujący nas kąt \(\frac{α}{2}\). Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\frac{α}{2}\). Obliczenia dokonujemy już tylko na trójkącie \(PCA\). Potrzebujemy wyznaczyć sinusa kąta \(CAP\), który ma miarę \(\frac{α}{2}\). Znamy potrzebną nam długosć \(|CA|=3\), potrzebujemy jeszcze poznać długość odcinka \(|CP|\). Jest to połowa przekątnej kwadratu, tak więc: $$|CP|=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$ Możemy już teraz obliczyć pożądaną wartość sinusa: $$sin\frac{α}{2}=\frac{|CP|}{|CA|} \           ,\ sin\frac{α}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania