Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDA'B'C'D'\) jest romb \(ABCD\). Przekątna \(AC'\) tego graniastosłupa ma długość \(8\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), a przekątna \(BD'\) jest nachylona do tej płaszczyzny pod kątem \(45°\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Odpowiedź:      

\(P_{c}=16\sqrt{3}+64\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i wprowadźmy też proste oznaczenia kluczowych długości: Skoro w podstawie graniastosłupa znajduje się romb to warto pamiętać, że przekątne rombu mają różne długości oraz przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym. Dzięki tym własnościom rombu będziemy w stanie wyliczać poszczególne długości. Krok 2. Wyznaczenie długości pierwszej przekątnej podstawy. Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Odcinek \(AC\) oznaczony na rysunku jako \(c\) jest przekątną podstawy, którą wyliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznych. $$cos30°=\frac{c}{8} \           ,\ \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{8} \           ,\ c=\frac{8\sqrt{3}}{2} \           ,\ c=4\sqrt{3}$$ Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa. Nadal patrzymy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Znamy już dwie długości w tym trójkącie, więc trzecią długość, czyli wysokość \(CC'\) oznaczoną jako \(h\) możemy policzyć zarówno z Twierdzenia Pitagorasa jak i funkcji trygonometrycznych. Korzystając tym razem z sinusa zapiszemy, że: $$sin30°=\frac{h}{8} \           ,\ \frac{1}{2}=\frac{h}{8} \           ,\ h=4$$ Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej przekątnej podstawy. Teraz spójrzmy na trójkąt \(BDD'\). Zawiera się w nim długość drugiej z przekątnych rombu, czyli bok \(BD\) oznaczony symbolem \(d\). Ten trójkąt jest nie tylko trójkątem prostokątnym, ale także jest to trójkąt równoramienny (bo jest to trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\)). W związku z tym przyprostokątne tego trójkąta mają tą samą długość, a to z kolei oznacza, że: $$d=h=4$$ Krok 5. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa. Znając długości przekątnych rombu możemy obliczyć pole podstawy, a będzie ono równe: $$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot d \           ,\ P_{p}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot4 \           ,\ P_{p}=2\sqrt{3}\cdot4 \           ,\ P_{p}=8\sqrt{3}$$ Krok 6. Wyznaczenie długości boku rombu. Spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Jest to trójkąt prostokątny, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Wiemy też, że przekątne przecinają się w połowie swojej długości, zatem: $$|CE|=\frac{1}{2}\cdot c \           ,\ |CE|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3} \           ,\ |CE|=2\sqrt{3} \           ,\ \quad \           ,\ |DE|=\frac{1}{2}d \           ,\ |DE|=\frac{1}{2}\cdot4 \           ,\ |DE|=2$$ Skoro tak, to odcinek \(DC\), oznaczony symbolem \(a\), który jest długością boku rombu wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa: $$|CE|^2+|DE|^2=a^2 \           ,\ (2\sqrt{3})^2+2^2=a^2 \           ,\ 4\cdot3+4=a^2 \           ,\ 12+4=a^2 \           ,\ a^2=16 \           ,\ a=4 \quad\lor\quad a=-4$$ Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(a=4\). Krok 7. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. W skład tej powierzchni wejdą dwa pola podstawy (góra i dół) obliczone w piątym kroku (\(P_{p}=8\sqrt{3}\)) oraz cztery ściany boczne o wymiarach \(4\times4\). Zatem: $$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \           ,\ P_{c}=2\cdot8\sqrt{3}+4\cdot4\cdot4 \           ,\ P_{c}=16\sqrt{3}+64$$

Teoria:      
W trakcie opracowania