Wartość wyrażenia \(2\sin^{2}18°+\sin^{2}72°+\cos^{2}18°\) jest równa:

A \(0\)
B \(1\)
C \(2\)
D \(4\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
W tym zadaniu musimy doprowadzić do sytuacji w której skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, czyli \(sin^2α+cos^2α=1\). Pomogą nam w tym wzory redukcyjne, a konkretnie to wzór \(sin(90°-α)=cosα\). Za jego pomocą możemy rozpisać wartość \(sin72°\) jako: $$sin72°=sin(90°-18°)=cos18°$$ Skoro \(sin72°=cos18°\), to także \(sin^{2}72°=cos^{2}18°\). W związku z tym całość możemy rozpisać w następujący sposób: $$2\sin^{2}18°+\sin^{2}72°+\cos^{2}18°= \           ,\ =2\sin^{2}18°+cos^{2}18°+\cos^{2}18°= \           ,\ =2\sin^{2}18°+2cos^{2}18°= \           ,\ =2\cdot(\sin^{2}18°+cos^{2}18°)= \           ,\ =2\cdot1=2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania