W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o podstawach \(ABCD\) i \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) (jak na rysunku) krawędź boczna jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy. Z wierzchołka \(B\) poprowadzono odcinek \(BE\), którego koniec \(E\) jest środkiem krawędzi \(A_{1}D_{1}\). Długość \(BE\) jest równa \(4\sqrt{41}\). Oblicz objętość graniastosłupa i wyznacz sinus kąta nachylenia odcinka \(BE\) do płaszczyzny podstawy graniastosłupa.

Odpowiedź:      

\(V=1536\) oraz \(sinα=\frac{6\sqrt{41}}{41}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Jeżeli wysokość graniastosłupa jest \(3\) razy większa od krawędzi podstawy, to całość po zaznaczeniu wszystkich informacji z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób: Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(FB\). Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABF\), który znalazł się w podstawie naszej bryły. Dolna przyprostokątna tego trójkąta ma długość \(a\), boczna przyprostokątna ma długość \(\frac{1}{2}a\), zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$a^2+\left(\frac{1}{2}a\right)^2=|FB|^2 \           ,\ a^2+\frac{1}{4}a^2=|FB|^2 \           ,\ |FB|^2=\frac{5}{4}a^2 \           ,\ |FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2} \quad\lor\quad |FB|=-\sqrt{\frac{5}{4}a^2}$$ Ujemny wynik odrzucamy, bo długość odcinka \(BF\) jest na pewno dodatnia, zatem zostaje nam \(|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\). Teoretycznie moglibyśmy uprościć jeszcze ten zapis (otrzymując ostateczną postać \(|FB|=\frac{a\sqrt{5}}{2})\), ale nie ma takiej potrzeby, bo za chwilę będziemy i tak podnosić tę wartość do kwadratu. Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy. Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(FBE\). Wyliczyliśmy przed chwilą, że \(|FB|=\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\). Wiemy, że \(|FE|=3a\). Dodatkowo znamy też miarę przeciwprostokątnej, bowiem \(|BE|=4\sqrt{41}\). Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$\left(\sqrt{\frac{5}{4}a^2}\right)^2+(3a)^2=(4\sqrt{41})^2 \           ,\ \frac{5}{4}a^2+9a^2=16\cdot41 \           ,\ \frac{41}{4}a^2=656 \           ,\ 41a^2=2624 \           ,\ a^2=64 \           ,\ a=8 \quad\lor\quad a=-8$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=8\). Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa. Wiemy już, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat o boku \(a=8\). Wiemy też, ze wysokość jest równa \(3a\), zatem \(H=3\cdot8=24\). Możemy wiec bez przeszkód obliczyć objętość naszego graniastosłupa: $$V=P_{p}\cdot H \           ,\ V=8\cdot8\cdot24 \           ,\ V=1536$$ Krok 5. Obliczenie sinusa kąta \(α\). Na koniec musimy jeszcze poprawnie obliczyć wartość sinusa naszego kąta \(α\). W tym celu spoglądamy na trójkąt prostokątny \(FBE\). Sinus to długość przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta (czyli u nas \(FE\), która jest wysokością graniastosłupa) względem przeciwprostokątnej (czyli u nas \(BE\)). Możemy zatem zapisać, że: $$sinα=\frac{|FE|}{|BE|} \           ,\ sinα=\frac{24}{4\sqrt{41}} \           ,\ sinα=\frac{6}{\sqrt{41}} \           ,\ sinα=\frac{6\cdot\sqrt{41}}{\sqrt{41}\cdot\sqrt{41}} \           ,\ sinα=\frac{6\sqrt{41}}{41}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania