W pewnym trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest trzy razy dłuższa od jednej z przyprostokątnych. Wartość cosinusa mniejszego kąta ostrego tego trójkąta jest równa:

A \(\frac{1}{3}\)
B \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
C \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
D \(\frac{3}{2\sqrt{2}}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i obliczenie długości drugiej przyprostokątnej. Skoro przeciwprostokątna jest trzy razy dłuższa od przyprostokątnej, to jedna przyprostokątna będzie mieć długość \(x\), a przeciwprostokątna będzie mieć długość \(3x\). Aby za chwilę poprawnie umiejscowić nasz najmniejszy kąt ostry, to obliczmy jeszcze długość drugiej przyprostokątnej (która zresztą zaraz się przyda do wyznaczania wartości cosinusa). W tym celu skorzystamy oczywiście z Twierdzenia Pitagorasa, zatem: $$x^2+b^2=(3x)^2 \           ,\ x^2+b^2=9x^2 \           ,\ b^2=8x^2 \           ,\ b=\sqrt{8}x \quad\lor\quad b=-\sqrt{8}x$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(b=\sqrt{8}x\), co możemy jeszcze rozpisać jako $$b=\sqrt{4\cdot2}x=2\sqrt{2}x$$ Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Korzystając z informacji zawartych w pierwszym kroku, sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco: Szukamy wartości cosinusa mniejszego kąta ostrego i zwróć uwagę na to, że ten kąt musi znajdować się przy dłuższej przyprostokątnej. Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa mniejszego kąta ostrego. Cosinus to stosunek długości przyprostokątnej znajdującej się przy interesującym nas kącie względem przeciwprostokątnej, zatem: $$cosα=\frac{2\sqrt{2}x}{3x} \           ,\ cosα=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania