Jeśli \(sin\alpha=\frac{3}{4}\), a kąt \(\alpha\) jest ostry, to wartość wyrażenia \(\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}\) jest równa:

A \(1\)
B \(\frac{9}{25}\)
C \(\frac{3}{\sqrt{7}}\)
D \(\frac{9}{7}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Korzystając z jedynki trygonometrycznej \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) możemy zapisać, że: $$cos^2\alpha=1-sin^2\alpha$$ W związku z tym: $$\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}$$ Widzimy, że potrzebujemy znać wartość \(sin^2\alpha\), a z treści zadania wiemy, że \(sin\alpha=\frac{3}{4}\). Podnieśmy zatem tę wartość do kwadratu, otrzymując: $$sin^2\alpha=\left(\frac{3}{4}\right)^2 \           ,\ sin^2\alpha=\frac{9}{16}$$ Podstawiając teraz tę wartość do naszego wyrażenia, otrzymamy: $$\frac{sin^2\alpha}{1-sin^2\alpha}=\frac{\frac{9}{16}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac{9}{16}}{\frac{7}{16}}=\frac{9}{16}\cdot\frac{16}{7}=\frac{9}{7}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania