Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AB|=6\), \(|BC|=5\), \(|AC|=10\).



Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta \(ABC\) jest równy \((-0,65)\).
Trójkąt \(ABC\) jest rozwartokątny.

Cosinus kąta \(ABC\) jest równy \((-0,65)\).

Odpowiedź:      

1) PRAWDA

2) PRAWDA

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco: Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Korzystając z twierdzenia cosinusów możemy zapisać, że: $$10^2=6^2+5^2-2\cdot6\cdot5\cdot cos\alpha \           ,\ 100=36+25-60cos\alpha \           ,\ 100=61-60cos\alpha \           ,\ 39=-60cos\alpha \           ,\ cos\alpha=-0,65$$ Zdanie jest więc prawdą. Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa wiemy, że gdy \(a^2+b^2=c^2\), to trójkąt jest prostokątny. Rozwinięciem tego twierdzenia jest informacja, że jeżeli \(a^2+b^2\gt c^2\), to trójkąt jest ostrokątny, natomiast gdy \(a^2+b^2\lt c^2\), to trójkąt jest rozwartokątny. W naszym przypadku \(a=6\), \(b=5\) oraz \(c=10\), zatem: $$a^2+b^2=6^2+5^2=36+25=61 \           ,\ c^2=10^2=100$$ Widzimy więc, że \(a^2+b^2\) jest mniejsze od \(c^2\), zatem jest to trójkąt rozwartokątny. Zdanie jest więc prawdą.

Teoria:      
W trakcie opracowania