Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(tg\alpha=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(sin^2\alpha\).

Odpowiedź:      

\(sin^2\alpha=\frac{4}{5}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej. Z treści zadania wynika, że \(tg\alpha=2\). Tangens odpowiada za stosunek długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym, a skoro tak, to pierwsza przyprostokątna (leżąca naprzeciwko kąta \(\alpha\)) ma długość \(2x\), a druga przyprostokątna ma długość \(x\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przeciwprostokątna ma długość: $$(2x)^2+x^2=c^2 \           ,\ 4x^2+x^2=c^2 \           ,\ 5x^2=c^2 \           ,\ c=\sqrt{5x^2} \quad\lor\quad c=-\sqrt{5x^2}$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5x^2}\). Krok 2. Obliczenie wartości \(sin^2\alpha\). Sinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta \(\alpha\) (która ma u nas długość \(2x\)), względem przeciwprostokątnej (która ma długość \(c=\sqrt{5x^2}\). Skoro tak, to: $$sin\alpha=\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}$$ Nas interesuje \(sin^2\alpha\), zatem całość musimy podnieść do kwadratu, co znacząco uprości cały zapis: $$sin^2\alpha=\left(\frac{2x}{\sqrt{5x^2}}\right)^2 \           ,\ sin^2\alpha=\frac{(2x)^2}{(\sqrt{5x^2})^2} \           ,\ sin^2\alpha=\frac{4x^2}{5x^2} \           ,\ sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania