Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{5}{12}\). Oblicz \(cosα\).

Odpowiedź:      

\(cosα=\frac{12}{13}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie odpowiedniego układu równań. Wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Na tej podstawie ułóżmy odpowiedni układ równań: \begin{cases} \frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \           ,\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases} Krok 2. Rozwiązanie układu równań. \begin{cases} \frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \quad\bigg/\cdot cosα \           ,\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}\begin{cases} \frac{5}{12}cosα=sinα \           ,\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases} Podstawiamy wartość \(sinα\) z pierwszego równania do drugiego: $$\left(\frac{5}{12}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{25}{144}cos^2α+cos^2α=1 \           ,\ \frac{25}{144}cos^2α+\frac{144}{144}cos^2α=1 \           ,\ \frac{169}{144}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169} \           ,\ cos^2α=\frac{144}{169} \           ,\ cosα=\sqrt{\frac{144}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{144}{169}} \           ,\ cosα=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \           ,\ cosα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{12}{13}$$ Z racji tego, że w zadaniu jest mowa o kącie ostrym, to \(cosα\gt0\), a więc odrzucamy rozwiązanie ze znakiem ujemnym, zatem \(cosα=\frac{12}{13}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania