Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{1}{4}\). Oblicz \(3+2tg^2α\).

Odpowiedź:      

\(3+2tg^2α=3\frac{2}{15}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wartości cosinusa. Znając wartość sinusa możemy przy użyciu jedynki trygonometrycznej obliczyć wartość cosinusa: $$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\ \left(\frac{1}{4}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{1}{16}+cos^2α=1 \           ,\ cos^2α=1-\frac{1}{16} \           ,\ cos^2α=\frac{15}{16} \           ,\ cosα=\sqrt{\frac{15}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{15}{16}} \           ,\ cosα=\frac{\sqrt{15}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{15}}{4}$$ Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. Krok 2. Obliczenie wartości tangensa. Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy teraz obliczyć wartość tangensa: $$tgα=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} \           ,\ tgα=\frac{1}{4}:\frac{\sqrt{15}}{4} \           ,\ tgα=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{15}} \           ,\ tgα=\frac{1}{\sqrt{15}}$$ Niewymierności z mianownika na razie nie musimy usuwać, bo jak się za chwilę okaże zniknie nam ona w trakcie dalszych obliczeń. Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia \(3+2tg^2α\). Znając wartość tangensa możemy już bez przeszkód dokończyć obliczenie naszego wyrażenia: $$3+2tg^2α=3+2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2= \           ,\ =3+2\cdot\frac{1}{15}=3+\frac{2}{15}=3\frac{2}{15}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania