Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Wtedy wartość wyrażenia \(2cos^2α-1\) jest równa:

A \(0\)
B \(\frac{1}{3}\)
C \(\frac{5}{9}\)
D \(1\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos^2α\). W zadaniu wykorzystamy tak zwaną jedynkę trygonometryczną: $$sin^2α+cos^2α=1$$ Widzimy że w poszukiwanym wyrażeniu pojawia się \(cos^2α\), więc spróbujmy wyznaczyć jego wartość, podstawiając do jedynki trygonometrycznej \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\): $$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{3}{9}+cos^2α=1 \           ,\ cos^2α=\frac{6}{9}$$ Wartości "czystego" cosinusa obliczać już nie musimy, bo nam do wyrażenia potrzebna jest wartość \(cos^2α\). Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2cos^2α-1\). Znając wartość \(cos^2α\) możemy bez problemu obliczyć wartość całego wyrażenia: $$2cos^2α-1=2\cdot\frac{6}{9}-1=\frac{12}{9}-1=\frac{1}{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania