Kąt \(α\) jest ostry oraz \(cosα=\frac{\sqrt{3}}{3}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}\).

Odpowiedź:      

Wartość wyrażenia jest równa \(\sqrt{3}\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sprowadzenie składników wyrażenia do wspólnego mianownika. $$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{1+sinα}= \           ,\ =\frac{sinα\cdot\color{blue}{(1+sinα)}}{cosα\cdot\color{blue}{(1+sinα)}}+\frac{\color{blue}{(cosα)}\cdot cosα}{\color{blue}{(cosα)}\cdot(1+sinα)}= \           ,\ =\frac{sinα+sin^2α+cos^2α}{cosα\cdot(1+sinα)}$$ Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia przy wykorzystaniu jedynki trygonometrycznej. Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem: $$\require{cancel} \frac{sinα+sin^2α+cos^2α}{cosα\cdot(1+sinα)}= \           ,\ =\frac{\cancel{sinα+1}}{cosα\cdot\cancel{(1+sinα)}}= \           ,\ =\frac{1}{cosα}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=1:\frac{\sqrt{3}}{3}= \           ,\ =1\cdot\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$$ Z otrzymanego wyniku możemy jeszcze usunąć niewymierność znajdującą się w mianowniku: $$\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania