Kąt \(α\) jest ostry i spełniona jest równość \(3tgα=2\). Wtedy wartość wyrażenia \(sinα+cosα\) jest równa:

A \(1\)
B \(\frac{5\sqrt{13}}{26}\)
C \(\frac{5\sqrt{13}}{13}\)
D \(\sqrt{5}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wzoru na \(sinα\). Pamiętając, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), możemy dokonać przekształcenia i spróbować wyznaczyć wzór na sinusa, który później podstawimy do jedynki trygonometrycznej. $$3tgα=2 \           ,\ tgα=\frac{2}{3} \           ,\ \frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3} \quad\bigg/\cdot cosα \           ,\ sinα=\frac{2}{3}cosα$$ Krok 2. Wyznaczenie dokładnej wartości \(cosα\). Korzystając z jedynki trygonometrycznej i podstawiając równanie wyznaczone w pierwszym kroku możemy obliczyć dokładną wartość cosinusa: $$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\ \left(\frac{2}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{4}{9}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot9 \           ,\ 4cos^2α+9cos^2α=9 \           ,\ 13cos^2α=9 \           ,\ cos^2α=\frac{9}{13} \           ,\ cosα=\sqrt{\frac{9}{13}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{9}{13}} \           ,\ cosα=\frac{3}{\sqrt{13}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{\sqrt{13}}$$ Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie odrzucamy. Pozostaje nam więc \(cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}\). W tym zapisie możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem: $$cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$$ Krok 3. Obliczenie wartości \(sinα\). $$\require{cancel} sinα=\frac{2}{3}cosα \           ,\ sinα=\frac{2}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}\sqrt{13}}{13} \           ,\ sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$ Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\). Znając wartości sinusa i cosinusa bez problemu obliczymy poszukiwaną wartość naszego wyrażenia: $$sinα+cosα=\frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{3\sqrt{13}}{13}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania