Prosta o równaniu \(y=-2x\) tworzy z osią \(Ox\) kąt rozwarty \(α\) (zobacz rysunek poniżej).





Cosinus kąta \(α\) jest równy:

A \(-2\)
B \(-\frac{1}{2}\)
C \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
D \(-\frac{\sqrt{5}}{5}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie punktu przez które przechodzi lewe ramię kąta. Z tablic matematycznych możemy odczytać, że jeżeli mamy taką sytuację jak na powyższym rysunku, czyli kiedy jedno ramię kąta pokrywa się z osią iksów, wierzchołek kąta znajduje się w miejscu przecięcia się osi układu współrzędnych, a drugie ramię przechodzi przez punkt \(M=(x;y)\), to: $$cosα=\frac{x}{r}$$ gdzie \(r\) to odległość od punktu \(M\) do początku układu współrzędnych, którą możemy policzyć ze wzoru \(r=\sqrt{x^2+y^2}\). Wyznaczmy zatem najpierw współrzędne jakiegoś punktu, który znajduje się na lewym ramieniu naszego kąta. Skoro lewe ramię możemy opisać równaniem \(y=-2x\), to podstawiając np. \(x=-1\) otrzymamy: $$y=-2\cdot(-1) \           ,\ y=2$$ To oznacza, że nasze ramię przechodzi przez punkt \(M=(-1;2)\). Tak na marginesie, to w przypadku takiego zadania zamkniętego moglibyśmy ten punkt odczytać wprost z rysunku. Krok 2. Obliczenie długości \(r\). W naszym przypadku ramię przechodzi przez punkt \(M=(-1;2)\), czyli \(x=-1\) oraz \(y=2\). Korzystając z podanego powyżej wzoru możemy zapisać, że: $$r=\sqrt{x^2+y^2} \           ,\ r=\sqrt{(-1)^2+2^2} \           ,\ r=\sqrt{1+4} \           ,\ r=\sqrt{5}$$ Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa. Mamy już wszystkie potrzebne dane, zatem możemy zapisać, że: $$cosα=\frac{x}{r} \           ,\ cosα=\frac{-1}{\sqrt{5}} \           ,\ cosα=\frac{-1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \           ,\ cosα=\frac{-\sqrt{5}}{5}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania