Dla pewnego kąta ostrego \(α\) trzywyrazowy ciąg \((2sin^2α,\;\sqrt{3}tgα,\;2cos^2α)\) jest arytmetyczny. Miara kąta \(α\) jest równa:

A \(75°\)
B \(60°\)
C \(45°\)
D \(30°\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie równania wynikającego z własności ciągów arytmetycznych. Z własności ciągów arytmetycznych wiemy, że dla trzech następujących po sobie wyrazów zachodzi następująca relacja: $$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$ Podstawiając dane z treści zadania otrzymamy: $$\sqrt{3}tgα=\frac{2sin^2α+2cos^2α}{2}$$ Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\). Jeżeli teraz w liczniku wyłączymy przed nawias dwójkę i skorzystamy z jedynki trygonometrycznej \(sin^2α+cos^2α=1\) to otrzymamy: $$\sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot(sin^2α+cos^2α)}{2} \           ,\ \sqrt{3}tgα=\frac{2\cdot1}{2} \           ,\ \sqrt{3}tgα=\frac{2}{2} \           ,\ \sqrt{3}tgα=1 \           ,\ tgα=\frac{1}{\sqrt{3}}$$ Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\). Jak spojrzymy na "małą tabelkę trygonometryczną" to takiej wartości jak \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) nie znajdziemy. Wszystko dlatego, że mamy niewymierność w mianowniku, którą musimy usunąć. Moglibyśmy też wybrnąć z tej sytuacji w taki sposób, że obliczylibyśmy przybliżoną wartość \(\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,5774\) i wtedy z dużych tablic odczytalibyśmy, że interesujący nas kąt ma miarę \(30°\). Aby usunąć niewymierność z mianownika musimy licznik i mianownik pomnożyć przez \(\sqrt{3}\), otrzymując: $$tgα=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \           ,\ tgα=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ Teraz z małej tabelki trygonometrycznej możemy odczytać, że \(α=30°\).

Teoria:      
W trakcie opracowania