Kąt rozwarty rombu ma miarę \(2α\). Suma długości przekątnych rombu jest równa \(68\) oraz \(tgα=2,4\). Oblicz obwód rombu.

Odpowiedź:      

\(Obw=104\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. W tym zadaniu trzeba pamiętać, że przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym oraz że dzielą nam kąty rozwarte na dwie równe miary. W związku z tym całość wyglądać będzie w następujący sposób: Krok 2. Ułożenie układu równań. Z treści zadania wiemy, że suma długości przekątnych jest równa \(68\), czyli zgodnie z naszym rysunkiem: $$2x+2y=68$$ Dodatkowo wiemy, że tangens kąta \(α\) jest równy \(2,4\). Tangens opisuje zależność między przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta \(α\) do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie, zatem: $$tgα=2,4 \           ,\ \frac{y}{x}=2,4$$ I to właśnie z tych dwóch równań możemy ułożyć układ równań: \begin{cases} 2x+2y=68 \           ,\ \frac{y}{x}=2,4 \end{cases} Krok 3. Rozwiązanie układu równań. Najprościej będzie rozwiązać ten układ równań metodą podstawiania. W tym celu możemy wyznaczyć np. wartość igreka z drugiego równania i podstawić go do równania pierwszego: $$\begin{cases} 2x+2y=68 \quad\bigg/:2 \           ,\ \frac{y}{x}=2,4 \quad\bigg/\cdot x \end{cases}$$ $$\begin{cases} x+y=34 \           ,\ y=2,4x \end{cases}$$ Podstawiając teraz drugie równanie do pierwszego otrzymamy: $$x+2,4x=34 \           ,\ 3,4x=34 \           ,\ x=10$$ Znając wartość \(x=10\) możemy obliczyć brakującą wartość igreka, podstawiając iksa do jednego z równań: $$10+y=34 \           ,\ y=24$$ Krok 4. Obliczenie długości boku rombu. Spójrzmy na jeden z czterech trójkątów prostokątnych, które powstały nam w rombie. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$x^2+y^2=a^2 \           ,\ 10^2+24^2=a^2 \           ,\ 100+576=a^2 \           ,\ a^2=676 \           ,\ a=26 \quad\lor\quad a=-26$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(a=26\). Krok 5. Obliczenie obwodu rombu. Samo obliczenie obwodu jest już formalnością, bo już wiemy że nasz romb ma cztery boki o długości \(26\), zatem: $$Obw=4\cdot26 \           ,\ Obw=104$$

Teoria:      
W trakcie opracowania