W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają miary \(α,β\), przeciwprostokątna ma długość \(13\), oraz \(sinα+sinβ=\frac{17}{13}\) i \(sinα-sinβ=\frac{7}{13}\). Wynika z tego, że:

A \(\text{tg}α=\frac{5}{12}\)
B \(\text{tg}α=\frac{12}{13}\)
C \(\text{tg}α=\frac{10}{13}\)
D \(\text{tg}α=\frac{12}{5}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Co prawda zbyt wielu danych nie mamy, ale narysujmy sobie trójkąt prostokątny z zaznaczonymi kątami, tak aby potem móc poprawnie odnosić się do poszczególnych funkcji trygonometrycznych: Krok 2. Obliczenie wartości \(sinα\). Z dwóch równań z treści zadania możemy ułożyć następujący układ: $$\begin{cases} sinα+sinβ=\frac{17}{13} \           ,\ sinα-sinβ=\frac{7}{13} \end{cases}$$ Dodając to równanie stronami otrzymamy: $$2sinα=\frac{24}{13} \           ,\ sinα=\frac{12}{13}$$ Krok 3. Obliczenie długości jednej przyprostokątnej. Sinus jest funkcją trygonometryczną, która opisuje nam zależność między przyprostokątną leżącą naprzeciw kąta \(α\) oraz przeciwprostokątną. W naszym przypadku \(sinα=\frac{a}{c}\). Skoro przeciwprostokątna ma długość \(c=13\), a \(sinα=\frac{12}{13}\), to znaczy że \(a=12\). Krok 4. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej. Wiemy już, że w tym trójkącie są boki długości \(12\) i \(13\), zatem trzeci bok (drugą przyprostokątną oznaczoną jako \(b\)) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa: $$12^2+b^2=c^2 \           ,\ 144+b^2=169 \           ,\ b^2=25 \           ,\ b=5 \quad\lor\quad b=-5$$ Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(b=5\). Krok 5. Wyznaczenie wartości tangensa. Znamy miary wszystkich boków trójkąta, zatem możemy bez problemu obliczyć wartość tangensa: $$tgα=\frac{a}{b} \           ,\ tgα=\frac{12}{5}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania