Punkty \(A=(-1,4)\) i \(B=(1,-2)\) są sąsiednimi wierzchołkami rombu \(ABCD\) o polu równym \(30\). Sinus kąta ostrego tego rombu jest równy:

A \(\frac{3}{4}\)
B \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
C \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D \(\frac{5}{6}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy sobie układ współrzędnych, zaznaczmy znane nam punkty oraz poszukiwany kąt ostry: Z rysunku jasno wynika, że do obliczenia sinusa kąta α będziemy potrzebować znać wysokość rombu oraz długość jego boku. Krok 2. Obliczenie długości boku rombu. Znając współrzędne obydwu punktów możemy obliczyć długość odcinka \(AB\) (czyli długość boku rombu): $$|AB|=\sqrt{(1-(-1))^2+(-2-4)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{2^2+(-6)^2} \           ,\ |AB|=\sqrt{4+36} \           ,\ |AB|=\sqrt{40} \           ,\ |AB|=\sqrt{4\cdot10} \           ,\ |AB|=2\sqrt{10}$$ Możemy więc powiedzieć, że romb ma bok o długości \(a=2\sqrt{10}\). Krok 3. Obliczenie wysokości rombu. Pole rombu możemy obliczyć ze wzoru \(P=ah\). Skoro \(P=30\) oraz \(a=2\sqrt{10}\), to: $$30=2\sqrt{10}\cdot h \           ,\ h=\frac{30}{2\sqrt{10}} \           ,\ h=\frac{15}{\sqrt{10}} \           ,\ h=\frac{15\cdot\sqrt{10}}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}} \           ,\ h=\frac{15\sqrt{10}}{10} \           ,\ h=\frac{3\sqrt{10}}{2}$$ Krok 4. Obliczenie wartości sinusa kąta \(α\). Znając długość boku rombu oraz jego wysokość możemy teraz zapisać, że: $$sinα=\frac{h}{a} \           ,\ sinα=\frac{\frac{3\sqrt{10}}{2}}{2\sqrt{10}} \           ,\ sinα=\frac{3\sqrt{10}}{2}:2\sqrt{10} \           ,\ sinα=\frac{3\sqrt{10}}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{10}} \           ,\ sinα=\frac{3}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania