Informator maturalny CKE 2023

Zbiory arkuszy maturalnych z matematyki. Nasza strona oferuje bogaty wybór przykładowych arkuszy, rozwiązań zadań, testów z matematyki oraz wiele innych materiałów

Arkusz 2023

Informator maturalny CKE 2023 Zadanie 43 z 101

ZADANIE ODPOWIEDŹ ROZWIĄZANIE TEORIA

Zadanie nr 43. (5pkt)

Dany jest prostopadłościan $ABCDEFGH$, w którym prostokąty $ABCD$ i $EFGH$ są jego postawami. Odcinek $BH$ jest przekątną tego prostopadłościanu.

Matematyka jest prosta

Zadanie 1.

Na którym rysunku prawidłowo narysowano, oznaczono i podpisano kąt $\alpha$ pomiędzy przekątną $BH$ prostopadłościanu a jego ścianą boczną $ADHE$? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. Matematyka jest prosta

Zadanie 2.

W prostopadłościanie $ABCDEFGH$ dane są:

$tg\beta=\frac{9}{7}$

$|BG|=2\cdot\sqrt{130}$

$|BH|=2\cdot\sqrt{194}$

gdzie odcinek $BH$ jest przekątną prostopadłościanu, odcinek $BG$ jest przekątną ściany bocznej $BCGF$, $\beta$ jest miarą kąta $\sphericalangle GBC$. Sytuację ilustruje rysunek poniżej.

Matematyka jest prosta

Oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu $ABCDEFGH$.

Odpowiedź:

1. C.
2. $P_{c}=1528$

Rozwiązanie:
Zadanie 1. Kąt między przekątną prostopadłościanu i ścianą boczną został oznaczony na trzecim rysunku. Zadanie 2. Krok 1. Obliczenie długości krawędzi $CG$ oraz $BC$. Spójrzmy na trójkąt $BCG$. Z treści zadania wiemy, że $tg\beta=\frac{9}{7}$. Nie możemy zapisać, że w takim razie bok $CG$ jest równy $7$, a $BC$ ma długość $9$ (bo równie dobrze mogłyby te boki mieć długości $14$ i $18$), ale możemy zapisać, że $|CG|=7x$ oraz $|BC|=9x$. Dodatkowo wiemy, że odcinek $BG$ ma długość $2\cdot\sqrt{130}$. Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$(7x)^2+(9x)^2=(2\sqrt{130})^2 \ ,\ 49x^2+81x^2=4\cdot130 \ ,\ 130x^2=520 \ ,\ x^2=4 \ ,\ x=2 \quad\lor\quad x=-2$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam $x=2$. Skoro tak, to długości krawędzi $CG$ oraz $BC$ są następujące: $$|CG|=7x=7\cdot2=14 \ ,\ |BC|=9x=9\cdot2=18$$ Krok 2. Obliczenie długości krawędzi $GH$ (oraz $AB$). Do obliczenia pola powierzchni całkowitej brakuje nam jeszcze znajomości długości krawędzi $AB$. Będzie ona taka sama jak krawędź $GH$, a tę będziemy mogli wyznaczyć z trójkąta $BGH$. Okazuje się, że trójkąt $BGH$ jest trójkątem prostokątnym (kąt prosty jest przy wierzchołku $G$). Z treści zadania znamy długość $BG=2\cdot\sqrt{130}$ oraz $|BH|=2\cdot\sqrt{194}$, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszemy, że: $$|GH|^2+(2\sqrt{130})^2=(2\sqrt{194})^2 \ ,\ |GH|^2+4\cdot130=4\cdot194 \ ,\ |GH|^2+520=776 \ ,\ |GH|^2=256 \ ,\ |GH|=16 \quad\lor\quad |GH|=-16$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam $|GH|=16$. Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej. Na sam koniec musimy obliczyć pole powierzchni całkowitej. Korzystając ze wzoru z tablic możemy zapisać, że: $$P_{c}=2ab+2bc+2ac \ ,\ P_{c}=2\cdot16\cdot14+2\cdot14\cdot18+2\cdot16\cdot18 \ ,\ P_{c}=448+504+576 \ ,\ P_{c}=1528$$

Teoria:
W trakcie opracowania

materiał edukacyjny - CKE

Lista zadań Wybierz inną kategorię