Prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2-8x+c\). Punkt \(P=(2,2)\) należy do wykresu tej funkcji. Wyznacz współczynniki \(a\) i \(c\).

Odpowiedź:      

\(a=-2\) oraz \(c=26\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli. Z własności parabol wiemy, że oś symetrii przechodzi dokładnie przez wierzchołek paraboli. To z kolei oznacza, że skoro prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii, to współrzędna \(p\) wierzchołka naszej paraboli będzie równa \(p=-2\). Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(a\). Skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli, czyli ze wzoru \(p=\frac{-b}{2a}\). Ze wzoru funkcji \(f(x)=ax^2-8x+c\) możemy odczytać, że \(b=8\), zatem: $$p=\frac{-b}{2a} \           ,\ -2=\frac{-(-8)}{2a} \           ,\ -2=\frac{8}{2a} \           ,\ -4a=8 \           ,\ a=-2$$ To oznacza, że nasza funkcja przyjmie postać \(f(x)=-2x^2-8x+c\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(c\). Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\). Do poznania wartości współczynnika \(c\) posłuży nam informacja o tym, że punkt \(P=(2,2)\) należy do wykresu tej funkcji. Podstawiając współrzędne tego punktu do wyznaczonej już w poprzednim kroku postaci wzoru ze współczynnikiem \(a\) otrzymamy: $$f(x)=-2x^2-8x+c \           ,\ 2=-2\cdot2^2-8\cdot2+c \           ,\ 2=-2\cdot4-8\cdot2+c \           ,\ 2=-8-16+c \           ,\ 2=-24+c \           ,\ c=26$$ W treści zadania prosili nas o wyznaczenie współczynnika \(a\) oraz \(c\), zatem możemy zapisać, że \(a=-2\) oraz \(c=26\).

Teoria:      
W trakcie opracowania