Dana jest funkcja kwadratowa \(f\), której fragment wykresu przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku obok. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.





Zadanie 1.

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x-2)\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku:



A.

B.

C.

D.



Zadanie 2.

Wyznacz i zapisz w miejscu wykropkowanym poniżej zbiór wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)\le0\).

$$.....................$$



Zadanie 3.

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

1. D.
2. \(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle3;+\infty)\)
3. \(y=-2(x-1)^2+8\)

Rozwiązanie:      
Zadanie 1. Zapis \(g(x)=f(x-2)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(2\) jednostki w prawo. Patrząc na miejsca zerowe i na wierzchołek paraboli, widzimy, że takie przesunięcie znalazło się na czwartym rysunku. Zadanie 2. Skoro wartości funkcji \(f(x)\) mają być mniejsze lub równe \(0\), to musimy spojrzeć na te fragmenty wykresu, które znalazły się pod osią \(OX\). Widzimy wyraźnie, że rozwiązaniem tego zadania będzie suma przedziałów \(x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle3;+\infty)\) Zadanie 3. Do wyznaczenia wzoru w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) potrzebujemy współrzędnej wierzchołka \(W=(p;q)\). Z wykresu odczytujemy, że \(W=(1;8)\), zatem: $$y=a(x-1)^2+8$$ Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Aby poznać tę wartość, musimy podstawić współrzędne jednego ze znanych punktów, który należy do wykresu tej funkcji. Najprościej będzie wziąć jedno z miejsc zerowych, czyli np. \(A=(-1;0)\). Podstawiając współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru, otrzymamy: $$0=a\cdot(-1-1)^2+8 \           ,\ 0=a\cdot(-2)^2+8 \           ,\ 0=4a+8 \           ,\ a=-2$$ Przy okazji warto zauważyć, że współczynnik \(a\) wyszedł ujemny, co sugerowałoby, że ramiona paraboli będą skierowane do dołu, tak jak na wykresie. Dzięki takiej obserwacji możemy w prosty sposób zweryfikować poprawność rozwiązania. Otrzymany wynik oznacza, że wzorem tej funkcji w postaci kanonicznej jest: $$y=-2(x-1)^2+8$$

Teoria:      
W trakcie opracowania