Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_{1}=-2\frac{1}{2}\) i \(x_{2}=1\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A(-3,8)\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

Odpowiedź:      

\(q=-12\frac{1}{4}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej. Znamy dwa miejsca zerowe, więc możemy przystąpić do zapisania funkcji w postaci iloczynowej. Dla przypomnienia, postać iloczynowa wygląda następująco: $$y=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$ Podstawiając teraz podane miejsca zerowe otrzymamy: $$y=a\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1) \           ,\ 8=a\cdot\left(-3+2\frac{1}{2}\right)(-3-1) \           ,\ 8=a\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(-4) \           ,\ 8=2a \           ,\ a=4$$ To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem: $$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1)$$ Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej. Chcemy teraz zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej (umożliwi nam to potem poznanie najmniejszej wartości funkcji). W tym celu musimy wymnożyć przez siebie nawiasy i uporządkować zapis: $$y=4\left(x+2\frac{1}{2}\right)(x-1) \           ,\ y=(4x+10)(x-1) \           ,\ y=4x^2-4x+10x-10 \           ,\ y=4x^2+6x-10$$ Krok 3. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji \(f\). Wykres naszej funkcji jest parabolą, która ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a=4\)). Skoro tak, to swoją najmniejszą wartość ta funkcja będzie przyjmować w wierzchołku: Nas interesuje poznanie najmniejszej wartości, czyli szukamy wartości współrzędnej \(q\). Korzystając zatem ze wzoru na tą współrzędną możemy zapisać, że: $$q=-\frac{\Delta}{4a} \           ,\ q=-\frac{(b^2-4ac)}{4a} \           ,\ q=-\frac{(6^2-4\cdot4\cdot(-10))}{4\cdot4} \           ,\ q=-\frac{(36+160)}{16} \           ,\ q=-\frac{196}{16} \           ,\ q=-12\frac{1}{4}$$ Tak na marginesie, można też byłoby obliczyć wartość współrzędnej \(p\) (ją się wylicza nieco szybciej), a następnie można byłoby sprawdzić jaką wartość przyjmuje funkcja dla tego argumentu. Współrzędną \(p\) obliczylibyśmy w następujący sposób: $$p=\frac{-b}{2a} \           ,\ p=\frac{-6}{2\cdot4} \           ,\ p=\frac{-6}{8} \           ,\ p=-\frac{3}{4}$$ I teraz podstawiając wartość \(x=-\frac{3}{4}\) do wzoru \(y=4x^2+6x-10\), otrzymalibyśmy: $$q=4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)^2+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10 \           ,\ q=4\cdot\frac{9}{16}+6\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)-10 \           ,\ q=\frac{9}{4}+\left(-\frac{18}{4}\right)-10 \           ,\ q=-\frac{9}{4}-10 \           ,\ q=-12\frac{1}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania