Liczba \(4\) jest jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej \(f\), a ponadto \(f(0)=f(12)=2\). Wyznacz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

Odpowiedź:      

\(y=-\frac{1}{4}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\) wierzchołka paraboli. Wykresem funkcji kwadratowej jest zawsze parabola. Jedną z własności parabol jest to, że jej wierzchołek znajduje się zawsze w równej odległości od argumentów o jednakowej wartości (zwyczajowo mówimy, że wierzchołek znajduje się dokładnie między miejscami zerowymi, choć ta zależność dotyczy tak naprawdę nie tylko miejsc zerowych). Możemy więc zapisać, że: $$p=\frac{0+12}{2} \           ,\ p=\frac{12}{2} \           ,\ p=6$$ Krok 2. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego. Teraz skorzystamy z dokładnie tej samej własności co przed chwilą, tylko w drugą stronę. Odległość od pierwszego miejsca zerowego do wierzchołka jest taka sama jak od wierzchołka do drugiego miejsca, czyli: $$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=p \           ,\ \frac{4+x_{2}}{2}=6 \           ,\ 4+x_{2}=12 \           ,\ x_{2}=8$$ Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej. Znając wszystkie miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru funkcji w postaci iloczynowej: $$y=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \           ,\ y=a(x-4)(x-8)$$ Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Możemy skorzystać z informacji, że np. \(f(0)=2\), czyli że dla argumentu \(x=0\) funkcja przyjmuje wartość \(y=2\). Podstawiając zatem te współrzędne do wyznaczonej postaci iloczynowej, otrzymamy: $$2=a\cdot(0-4)\cdot(0-8) \           ,\ 2=a\cdot(-4)\cdot(-8) \           ,\ 2=32a \           ,\ a=\frac{1}{16}$$ To oznacza, że pełnym wzorem tej funkcji w postaci iloczynowej jest: $$y=\frac{1}{16}(x-4)(x-8)$$ Krok 4. Wyznaczenie najmniejszej wartości funkcji. Funkcja ma ramiona skierowane do góry (bo współczynnik \(a\) jest dodatni), więc najmniejsza wartość tej funkcji jest przyjmowana w wierzchołku. Nie będziemy tutaj korzystać ze wzoru na współrzędną \(q\), czyli \(q=\frac{-Δ}{4a}\), bo nie mamy postaci ogólnej. Możemy postąpić sprytniej i obliczyć wartość funkcji dla \(x=6\), czyli właśnie wartość przyjmowaną w wierzchołku: $$y=\frac{1}{16}\cdot(6-4)\cdot(6-8) \           ,\ y=\frac{1}{16}\cdot2\cdot(-2) \           ,\ y=\frac{1}{16}\cdot(-4) \           ,\ y=-\frac{1}{4}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania