Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=2x^2+bx+c\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt \(W=(4,0)\). Oblicz wartości współczynników \(b\) i \(c\).

Odpowiedź:      

\(b=-16\) oraz \(c=32\)

Rozwiązanie:      
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby: I sposób - z wykorzystaniem postaci kanonicznej. Krok 1. Odczytanie i podstawienie danych z treści zadania do postaci kanonicznej. Funkcja przyjmuje postać \(f(x)=a(x-x_{W})^2+y_{W}\) dla współrzędnych wierzchołka \(W=(x_{W};y_{W})\). Współrzędne wierzchołka mamy podane w treści zadania, znamy też wartość współczynnika \(a\), bo z postaci ogólnej możemy odczytać, że \(a=2\). Podstawiając te wszystkie informacje do postaci kanonicznej otrzymamy: $$f(x)=2\cdot(x-4)^2+0 \           ,\ f(x)=2\cdot(x^2-8x+16) \           ,\ f(x)=2x^2-16x+32$$ Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku. W ten sposób otrzymaliśmy wzór ogólny, który możemy teraz przyrównać do postaci z treści zadania, czyli do \(f(x)=2x^2+bx+c\). Widzimy wyraźnie, że wartość poszukiwanych współczynników to \(b=-16\) oraz \(c=32\). II sposób - z wykorzystaniem wzoru na współrzędne wierzchołka. Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika \(b\). Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako: $$(x_{W};y_{W})=\left(\frac{-b}{2a};\frac{-Δ}{4a}\right)$$ Znając wartość \(x_{W}\) oraz \(a\) bardzo szybko wyliczymy współczynnik \(b\), korzystając właśnie ze współrzędnej iksowej. $$x_{W}=\frac{-b}{2a} \           ,\ 4=\frac{-b}{2\cdot2} \           ,\ 4=\frac{-b}{4} \           ,\ 16=-b \           ,\ b=-16$$ Krok 2. Obliczenie wartości delty oraz współczynnika \(c\). Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(c\). Wyznaczymy go sobie z delty o której wiemy, że jest równa \(0\) (wynika to z tego, że współrzędna \(y=0\)). Jeśli nie widzimy tego, że delta jest równa \(0\), to oto dowód: $$y_{W}=\frac{-Δ}{4a} \           ,\ 0=\frac{-Δ}{4\cdot2} \           ,\ 0=\frac{-Δ}{8} \quad\bigg/\cdot8 \           ,\ 0=-Δ \quad\bigg/\cdot(-1) \           ,\ Δ=0$$ W związku z tym: $$Δ=b^2-4ac \           ,\ 0=(-16)^2-4\cdot2\cdot c \           ,\ 0=256-8c \           ,\ 8c=256 \           ,\ c=32$$ W ten sposób obliczyliśmy, że \(b=-16\) oraz \(c=32\).

Teoria:      
W trakcie opracowania