Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^2+bx+c\) osiąga dla \(x=2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy:

A \(b=-4, c=8\)
B \(b=4, c=-8\)
C \(b=-4, c=-8\)
D \(b=4, c=8\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie współrzędnych wierzchołka paraboli. Z treści zadania wynika, że nasza funkcja kwadratowa ma ramiona skierowane do góry (przed \(x^2\) nie stoi żadna liczba, więc współczynnik \(a=1\)) i że przyjmuje ona najmniejszą wartość \(y=4\) dla argumentu \(x=2\). W przypadku tej funkcji kwadratowej ta najmniejsza wartość musi być przyjmowana w wierzchołku \(W=(p;q)\), a to oznacza, że \(W=(2;4)\). Krok 2. Obliczenie wartości współczynnika \(b\). Skorzystamy ze wzoru na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, czyli \(p=\frac{-b}{2a}\). Podstawiając do tego wzoru \(p=2\) oraz \(a=1\), otrzymamy: $$2=\frac{-b}{2\cdot1} \           ,\ 2=\frac{-b}{2} \           ,\ 4=-b \           ,\ b=-4$$ Krok 3. Obliczenie wartości współczynnika \(c\). Znając wartość współczynnika \(b\), możemy wrócić do wzoru naszej funkcji i podstawić do niej wszystkie znane nam dane, otrzymując: $$4=2^2-4\cdot2+c \           ,\ 4=4-8+c \           ,\ 4=-4+c \           ,\ c=8$$

Teoria:      
W trakcie opracowania