Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x)\gt0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).

Odpowiedź:      

\(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Musimy się zastanowić jak będzie wyglądać nasza parabola. Wniosek I - Skoro funkcja przyjmuje wartości dodatnie (\(f(x)\gt0\)) tylko w przedziale \((0;12)\), to musi być to parabola z ramionami skierowanymi do dołu (patrz rysunek). Nie ma innej możliwości. Wniosek II - Czym jest natomiast przedział \((0;12)\)? Kiedy rozwiązujemy standardową nierówność i podajemy jej rozwiązania, to zawsze na krańcach przedziałów znajdują się tak naprawdę miejsca zerowe (które obliczamy np. z delty albo z postaci iloczynowej). Nie inaczej jest tutaj, zatem z tego przedziału możemy odczytać, że funkcja ta przecina oś \(Ox\) w punktach \(x_{1}=0\) oraz \(x_{2}=12\) (patrz rysunek). Wniosek III - Jakie współrzędne ma wierzchołek paraboli? Skoro największa wartość funkcji jest równa \(9\), to jedną współrzędną (\(y=9\)) już znamy. Wiemy też, że wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie po środku, między miejscami zerowymi. Zatem współrzędne wierzchołka to \(W=(6;9)\). Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji przy użyciu współrzędnych wierzchołka paraboli. Dzięki trzeciemu wnioskowi z pierwszego kroku jesteśmy w stanie zapisać równanie tej paraboli w postaci kanonicznej. Funkcję o wierzchołku w punkcie \(W=(p;q)\) możemy opisać wzorem: $$y=a(x-p)^2+q \           ,\ y=a(x-6)^2+9$$ Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\). Wiemy, że parabola przechodzi między innymi przez punkt \((0;0)\), zatem możemy podstawić współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru i tym samym obliczyć wartość współczynnika \(a\): $$0=a\cdot(0-6)^2+9 \           ,\ 0=a\cdot(-6)^2+9 \           ,\ 0=36a+9 \           ,\ 36a=-9 \           ,\ a=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}$$ Krok 4. Sprowadzenie wzoru funkcji do postaci ogólnej. Podstawiając wyznaczony współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) do wzoru z kroku drugiego, będziemy tak naprawdę znać już pełny wzór naszej funkcji: $$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9$$ To jednak nie koniec, bo zgodnie z treścią zadania musimy przedstawić wzór tej funkcji w postaci ogólnej typu \(f(x)=ax^2+bx+c\) i wypisać poszczególne współczynniki. Zatem: $$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9 \           ,\ y=-\frac{1}{4}(x^2-12x+36)+9 \           ,\ y=-\frac{1}{4}x^2+3x-9+9 \           ,\ y=-\frac{1}{4}x^2+3x$$ Poszukiwanymi współczynnikami są więc: \(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\).

Teoria:      
W trakcie opracowania