Wyznacz zbiór wszystkich argumentów \(x\), dla których funkcja kwadratowa \(f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+2\) przyjmuje większe wartości niż funkcja liniowa \(g(x)=-x+2\).

Odpowiedź:      

\(x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Zapisanie nierówności kwadratowej. Skoro funkcja \(f(x)\) ma przyjmować większe wartości niż funkcja \(g(x)\), to musi zajść następująca nierówność: $$\frac{1}{2}x^2+2x+2\gt-x+2 \           ,\ \frac{1}{2}x^2+3x\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \           ,\ x^2+6x\gt0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, której rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+6x\) jest równe \(0\), zatem: $$x^2+6x=0 \           ,\ x\cdot(x+6)=0 \           ,\ x=0 \quad\lor\quad x=-6$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=0\) oraz \(x=-6\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę: Krok 4. Odczytanie rozwiązania. Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów: $$x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania