Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=-3n+5\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Liczby \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu \((a_{n})\).
\((a_{n})\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(5\).

Liczby \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami ciągu \((a_{n})\).

Odpowiedź:      

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. Chcąc obliczyć wartości trzech początkowych wyrazów, wystarczy podstawić \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) do wzoru ciągu, zatem: $$a_{1}=-3\cdot1+5=-3+5=2 \           ,\ a_{2}=-3\cdot2+5=-6+5=-1 \           ,\ a_{3}=-3\cdot3+5=-9+5=-4$$ Zdanie jest więc prawdą, bo \(2, (-1), (-4)\) są trzema kolejnymi początkowymi wyrazami tego ciągu. Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Już po samym wzorze powinniśmy dostrzec, że jest to ciąg arytmetyczny i w dodatku od ręki powinniśmy stwierdzić, że różnica tego ciągu to \(r=-3\) (bo taka też wartość stoi przed \(n\)). Gdybyśmy jednak nie mieli takiej pewności, to możemy sobie z tym zadaniem poradzić nieco inaczej. W tym celu wystarczy sprawdzić o ile różnią się sąsiadujące ze sobą wyrazy - będziemy wtedy wiedzieć, czy jest to w ogóle ciąg arytmetyczny, no i poznamy przy okazji ewentualną różnicę tego ciągu. Korzystając z wartości wyrazów obliczonych w poprzednim kroku, możemy zapisać, że: $$a_{2}-a_{1}=-1-2=-3 \           ,\ a_{3}-a_{2}=-4-(-1)=-4+1=-3$$ Zarówno z obliczeń jak i obserwacji wynika wyraźnie, że każdy kolejny wyraz jest o \(3\) mniejszy od poprzedniego, zatem owszem, ten ciąg jest arytmetyczny, ale jego różnica jest równa \(r=-3\). Zdanie jest więc fałszem.

Teoria:      
W trakcie opracowania