W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_{1}=-1\) i \(a_{4}=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(S_{100}=14750\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Z treści zadania wiemy, że: $$a_{1}=-1 \           ,\ a_{4}=8$$ Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że: $$a_{4}=a_{1}+3r \           ,\ 8=-1+3r \           ,\ 9=3r \           ,\ r=3$$ Krok 2. Obliczenie sumy \(S_{100}\). W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów, czyli: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$ Podstawiając teraz znane nam wartości oraz \(n=100\) (bo interesuje nas suma stu pierwszych wyrazów), otrzymamy: $$S_{100}=\frac{2\cdot(-1)+(100-1)\cdot3}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=\frac{-2+99\cdot3}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=\frac{-2+297}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=\frac{295}{2}\cdot100 \           ,\ S_{100}=147,5\cdot100 \           ,\ S_{100}=14750$$

Teoria:      
W trakcie opracowania