Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_{n})\), określonego dla \(n\ge1\), jest równy \(34\), a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie układu równań Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że: $$a_{9}=a_{1}+8r \           ,\ a_{1}+8r=34$$ To będzie nasze pierwsze równanie z którego zbudujemy układ równań. Drugie równanie będzie wynikać z informacji na temat sumy ośmiu początkowych wyrazów: $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \           ,\ S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \           ,\ 110=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \           ,\ 110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4 \           ,\ a_{1}+a_{8}=27,5 \           ,\ a_{1}+a_{1}+7r=27,5 \           ,\ 2a_{1}+7r=27,5$$ To oznacza, że możemy stworzyć następujący układ równań: $$\begin{cases} a_{1}+8r=34 \           ,\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$ Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Najprościej będzie zastosować tutaj metodę podstawiania, wyznaczając wartość \(a_{1}\) z pierwszego równania: $$\begin{cases} a_{1}=34-8r \           ,\ 2a_{1}+7r=27,5 \end{cases}$$ Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy: $$2\cdot(34-8r)+7r=27,5 \           ,\ 68-16r+7r=27,5 \           ,\ 68-9r=27,5 \           ,\ -9r=-40,5 \           ,\ r=4,5$$ Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając wartość \(r=4,5\) możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyliczoną różnicę do jednego z wyznaczonych równań: $$a_{1}=34-8r \           ,\ a_{1}=34-8\cdot4,5 \           ,\ a_{1}=34-36 \           ,\ a_{1}=-2$$ To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).

Teoria:      
W trakcie opracowania