W pewnym ciągu arytmetycznym suma dwóch pierwszych wyrazów jest równa \(5\frac{1}{2}\), a suma trzech pierwszych wyrazów jest równa \(12\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A \(1\frac{1}{2}\)
B \(4\frac{1}{2}\)
C \(-\frac{1}{2}\)
D \(1\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozpisanie sumy dwóch i trzech pierwszych wyrazów. Suma dwóch pierwszych wyrazów to tak naprawdę \(a_{1}+a_{2}\). Suma trzech pierwszych wyrazów to \(a_{1}+a_{2}+a_{3}\). Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy napisać, że \(a_{2}=a_{1}+r\) oraz \(a_{3}=a_{1}+2r\). Jeżeli tak rozpiszemy sobie tę sytuację to otrzymamy: $$a_{1}+a_{2}=5\frac{1}{2} \           ,\ a_{1}+a_{1}+r=5\frac{1}{2} \           ,\ 2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \           ,\ \text{oraz} \           ,\ a_{1}+a_{2}+a_{3}=12 \           ,\ a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=12 \           ,\ 3a_{1}+3r=12$$ Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu arytmetycznego. Z naszych równań otrzymanych w pierwszym kroku możemy ułożyć teraz układ równań: \begin{cases} 2a_{1}+r=5\frac{1}{2} \           ,\ 3a_{1}+3r=12 \end{cases} Ten układ równań najlepiej jest rozwiązać metodą podstawiania, wyznaczając wartość \(r\) z pierwszego równania: \begin{cases} r=5\frac{1}{2}-2a_{1} \           ,\ 3a_{1}+3r=12 \end{cases} Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy: $$3a_{1}+3\cdot\left(5\frac{1}{2}-2a_{1}\right)=12 \           ,\ 3a_{1}+16\frac{1}{2}-6a_{1}=12 \           ,\ -3a_{1}=-4\frac{1}{2} \           ,\ a_{1}=1\frac{1}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania