Ciąg arytmetyczny jest określony dla każdej liczby naturalnej . Różnicą tego ciągu jest liczba \(r=-4\) , a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\) jest równa \(16\).

a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

b) Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_{k}=-78\).

Odpowiedź:      

\(a_{1}=26, k=27\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie sumy sześciu wyrazów tego ciągu. Skoro średnia arytmetyczna sześciu wyrazów tego ciągu jest równa \(16\), to znaczy że: $$\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}}{6}=16 \           ,\ a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=96$$ Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy rozpisać każdy z kolejnych wyrazów w następujący sposób: \(a_{1} \           ,\ a_{2}=a_{1}+r \           ,\ a_{3}=a_{1}+2r \           ,\ a_{4}=a_{1}+3r \           ,\ a_{5}=a_{1}+4r \           ,\ a_{6}=a_{1}+5r\) Skoro tak, to możemy zapisać, że: $$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r+a_{1}+5r=96 \           ,\ 6a_{1}+15r=96$$ Z treści zadania wynika, że \(r=-4\), zatem mamy: $$6a_{1}+15\cdot(-4)=96 \           ,\ 6a_{1}-60=96 \           ,\ 6a_{1}=156 \           ,\ a_{1}=26$$ Krok 3. Obliczenie wartości \(k\) dla której \(a_{k}=-78\). Musimy tak naprawdę odpowiedzieć na pytanie który wyraz tego ciągu jest równy \(-78\), wiedząc że \(a_{1}=26\) oraz \(r=-4\). Możemy to zrobić korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). W zasadzie w tym wzorze zamiast symbolu \(n\) możemy użyć symbolu \(k\), tak aby dopasować się do treści zapisu z zadania, zatem: $$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \           ,\ -78=26+(k-1)\cdot(-4) \           ,\ -78=26-4k+4 \           ,\ -78=30-4k \           ,\ -4k=-108 \           ,\ k=27$$

Teoria:      
W trakcie opracowania