Dany jest rosnący ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla liczb naturalnych \(n\ge1\), o wyrazach dodatnich. Jeśli \(a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k}\), to \(k\) jest równe:

A \(8\)
B \(7\)
C \(6\)
D \(5\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozpisanie poszczególnych wyrazów ciągu. Rozpiszmy drugi, dziewiąty oraz czwarty wyraz ciągu korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\). Otrzymamy wtedy, że: $$a_{2}=a_{1}+r \           ,\ a_{9}=a_{1}+8r \           ,\ a_{4}=a_{1}+3r$$ Krok 2. Podstawienie rozpisanych wyrazów do wyrażenia z treści zadania. Podstawiając teraz wyznaczone przed chwilą wyrazy do wyrażenia z treści zadania otrzymamy: $$a_{2}+a_{9}=a_{4}+a_{k} \           ,\ a_{1}+r+a_{1}+8r=a_{1}+3r+a_{k} \           ,\ 2a_{1}+9r=a_{1}+3r+a_{k} \           ,\ a_{k}=a_{1}+6r$$ Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu wiemy, że wartość \(a_{1}+6r=a_{7}\), więc wychodzi nam, że \(a_{k}=a_{7}\). To oznacza, że \(a_{k}\) jest siódmym wyrazem naszego ciągu, czyli \(k=7\).

Teoria:      
W trakcie opracowania