W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) drugi wyraz jest równy \(7\), a szósty \(17\). Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(a_{1}=4\frac{1}{2},\ r=2\frac{1}{2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Utworzenie układu równań. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że: $$\begin{cases} a_{2}=a_{1}+r \           ,\ a_{6}=a_{1}+5r \end{cases}$$ $$\begin{cases} 7=a_{1}+r \           ,\ 17=a_{1}+5r \end{cases}$$ Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego. Musimy rozwiązać nasz układ równań. Możemy to zrobić metodą podstawiania (wyznaczając \(a_{1}\) z jednego równania i podstawiając to do drugiego równania), albo też możemy po prostu odjąć te równania stronami otrzymując: $$-10=-4r \           ,\ r=2\frac{1}{2}$$ Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Znając różnicę ciągu możemy teraz skorzystać z jednego z równań znajdujących się w układzie i możemy wyliczyć tym samym wartość pierwszego wyrazu: $$a_{2}=a_{1}+r \           ,\ 7=a_{1}+2\frac{1}{2} \           ,\ a_{1}=4\frac{1}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania