Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla \(n\ge1\), w którym \(a_{5}=22\) oraz \(a_{10}=47\). Oblicz pierwszy wyraz \(a_{1}\) i różnicę \(r\) tego ciągu.

Odpowiedź:      

\(a_{1}=2\) oraz \(r=5\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu. Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że: $$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \           ,\ a_{5}=a_{1}+4r \           ,\ \           ,\ a_{10}=a_{1}+(10-1)r \           ,\ a_{10}=a_{1}+9r$$ Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu. Zgodnie z treścią zadania: \begin{cases} a_{1}+4r=22 \           ,\ a_{1}+9r=47 \end{cases} Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy: $$4r-9r=22-47 \           ,\ -5r=-25 \           ,\ r=5$$ Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu. Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu. $$a_{5}=a_{1}+4r \           ,\ 22=a_{1}+4\cdot5 \           ,\ 22=a_{1}+20 \           ,\ a_{1}=2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania