Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), w którym \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2016\) oraz \(a_{5}+a_{6}+a_{7}+...+a_{12}=2016\). Oblicz pierwszy wyraz, różnicę oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu \((a_{n})\).

Odpowiedź:      

\(a_{1}=567\), \(r=-42\) oraz \(a_{14}=21\)

Rozwiązanie:      
W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego. $$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$ Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań. Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań: \begin{cases} S_{4}=2016 \           ,\ S_{12}=2016+2016 \end{cases} Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\). Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, czyli \(r\). \begin{cases} 2016=\frac{2\cdot a_{1}+(4-1)\cdot r}{2}\cdot4 \           ,\ 4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12 \end{cases}\begin{cases} 2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4 \           ,\ 4032=\frac{2\cdot a_{1}+11r}{2}\cdot12 \end{cases}\begin{cases} 2016=4\cdot a_{1}+6r \quad\bigg/\cdot(-3) \           ,\ 4032=12\cdot a_{1}+66r \end{cases}\begin{cases} -6048=-12\cdot a_{1}-18r \           ,\ 4032=12\cdot a_{1}+66r \end{cases} Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy: $$-2016=48r \           ,\ r=-42$$ Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{1}\). Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\): $$2016=4\cdot a_{1}+6r \           ,\ 2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42) \           ,\ 2016=4\cdot a_{1}-252 \           ,\ 2268=4\cdot a_{1} \           ,\ a_{1}=567$$ Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu. Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący). $$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$ Zatem: $$a_{1}+(n-1)\cdot r\gt0 \           ,\ 567+(n-1)\cdot(-42)\gt0 \           ,\ 567+(-42n+42)\gt0 \           ,\ 609-42n\gt0 \           ,\ -42n\gt-609 \           ,\ n\lt14\frac{1}{2}$$ (Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!) Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\). Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu. Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa: $$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \           ,\ a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42) \           ,\ a_{14}=567+13\cdot(-42) \           ,\ a_{14}=567-546 \           ,\ a_{14}=21$$

Teoria:      
W trakcie opracowania