Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem \(S_{n}=3n^2+4n\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:

A \(45\)
B \(31\)
C \(21\)
D \(11\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Zastanówmy się jak podejść do tego zadania. Gdybyśmy podstawili \(n=5\) do wzoru z treści zadania to uzyskamy odpowiedź na pytanie jaka jest suma pięciu wyrazów tego ciągu, czyli dowiemy się ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}\). My chcemy się dowiedzieć ile jest równy konkretnie ten piąty wyraz. Gdybyśmy podstawili \(n=4\), to dowiemy się ile jest równa suma czterech wyrazów tego ciągu, czyli ile jest równe \(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\). Jak widać, różnica między sumą pięciu wyrazów i sumą czterech wyrazów jest równa właśnie wartości piątego wyrazu i to będzie klucz do rozwiązania tego zadania. Krok 1. Obliczenie sumy pięciu początkowych wyrazów. Podstawiając do wzoru \(S_{n}=3n^2+4n\) wartość \(n=5\) otrzymamy: $$S_{5}=3\cdot5^2+4\cdot5 \           ,\ S_{5}=3\cdot25+20 \           ,\ S_{5}=75+20 \           ,\ S_{5}=95$$ Krok 2. Obliczenie sumy czterech początkowych wyrazów. Podstawiając teraz \(n=4\) otrzymamy: $$S_{4}=3\cdot4^2+4\cdot4 \           ,\ S_{4}=3\cdot16+16 \           ,\ S_{4}=48+16 \           ,\ S_{4}=64$$ Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu. Zgodnie z planem działania, wartość piątego wyrazu będzie równa różnicy między \(S_{5}\) i \(S_{4}\), zatem: $$a_{5}=S_{5}-S_{4} \           ,\ a_{5}=95-64 \           ,\ a_{5}=31$$

Teoria:      
W trakcie opracowania