Dany jest ciąg \((a_{n})\) o wyrazie ogólnym \(a_{n}=\frac{2n+1}{n+3}\). Liczby \(a_{3},a_{5}\) są wyrazami tego ciągu, a liczby \((a_{3},x,a_{5})\) tworzą ciąg arytmetyczny. Liczba \(x\) jest równa:

A \(x=\frac{61}{48}\)
B \(x=\frac{61}{96}\)
C \(x=\frac{69}{96}\)
D \(x=\frac{69}{48}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\). Podstawiając do wzoru \(n=3\) otrzymamy: $$a_{3}=\frac{2\cdot3+1}{3+3} \           ,\ a_{3}=\frac{6+1}{6} \           ,\ a_{3}=\frac{7}{6}$$ Krok 2. Obliczenie wartości \(a_{5}\). Podstawiając do wzoru \(n=5\) otrzymamy: $$a_{5}=\frac{2\cdot5+1}{5+3} \           ,\ a_{5}=\frac{10+1}{8} \           ,\ a_{5}=\frac{11}{8}$$ Krok 3. Obliczenie wartości \(x\). Wiemy, że \(a_{3}, x, a_{5}\) są trzema sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego. Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że w takiej sytuacji wartość środkowego z tych trzech wyrazów jest równa średniej arytmetycznej dwóch wyrazów skrajnych, czyli w naszym przypadku: $$x=\frac{a_{3}+a_{5}}{2} \           ,\ 2x=a_{3}+a_{5} \           ,\ 2x=\frac{7}{6}+\frac{11}{8} \           ,\ 2x=\frac{56}{48}+\frac{66}{48} \           ,\ 2x=\frac{122}{48} \           ,\ x=\frac{61}{48}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania