Grupa znajomych wyjeżdżających na biwak wynajęła bus. Koszt wynajęcia busa jest równy \(960\) złotych i tę kwotę rozłożono po równo pomiędzy uczestników wyjazdu. Do grupy wyjeżdżających dołączyło w ostatniej chwili dwóch znajomych. Wtedy koszt wyjazdu przypadający na jednego uczestnika zmniejszył się o \(16\) złotych. Oblicz, ile osób wyjechało na biwak.

Odpowiedź:      

\(12\) osób

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania. \(x\) - początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak \(y\) - początkowy koszt wynajęcia busa na jedną osobę \(960\) - całkowity koszt wynajęcia busa \(x+2\) - liczba wyjeżdżających po dołączeniu dwóch osób \(y-16\) - koszt wynajęcia busa na jedną osobę po dołączeniu dwóch osób Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań. Na podstawie powyższych informacji możemy ułożyć następujący układ równań: \begin{cases} xy=960 \           ,\ (x+2)(y-16)=960 \end{cases}\begin{cases} xy=960 \           ,\ xy-16x+2y-32=960 \end{cases} Podstawiając \(xy=960\) z pierwszego równania do drugiego otrzymamy: $$960-16x+2y-32=960 \           ,\ -16x+2y-32=0 \           ,\ 2y=16x+32 \           ,\ y=8x+16$$ Podstawiając teraz \(y=8x+16\) do równania \(xy=960\) otrzymamy: $$x\cdot(8x+16)=960 \           ,\ 8x^2+16x=960 \quad\bigg/:8 \           ,\ x^2+2x=120 \           ,\ x^2+2x-120=0$$ Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-120\) $$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-120)=4-(-480)=4+480=484 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{484}=22$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$ Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku. Ujemne rozwiązanie odrzucamy, zatem otrzymaliśmy że \(x=10\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami jest to początkowa liczba osób, które chciały pojechać na biwak, ale wiemy, że dołączyły do nich jeszcze dwie osoby. Zatem ostatecznie na biwak pojechało \(12\) osób.

Teoria:      
W trakcie opracowania