W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano \(480\) róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to do zapakowania tej samej ilości róż należałoby użyć o \(8\) kartonów więcej. Do ilu kartonów zapakowano pierwotnie róże i ile róż było w każdym kartonie?

Odpowiedź:      

Róże zapakowano do \(32\) kartonów, a w każdym kartonie było \(15\) sztuk.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania. Wprowadźmy sobie do zadania proste oznaczenia: \(x\) - liczba róż w pojedynczym kartonie \(y\) - liczba kartonów Wiemy, że zapakowano \(480\) róż, zatem możemy zapisać, że: $$x\cdot y=480$$ Dodatkowo wiemy, że gdyby do kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to trzeba byłoby użyć \(8\) kartonów więcej, czyli: $$(x-3)(y+8)=480$$ Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie układu równań Z dwóch zapisanych równań w poprzednim kroku możemy zbudować następujący układ równań. \begin{cases} x\cdot y=480 \           ,\ (x-3)(y+8)=480 \end{cases} Ten układ równań najszybciej rozwiążemy metodą podstawiania, wyznaczając np. wartość \(x\) z pierwszego równania: \begin{cases} x=\frac{480}{y} \           ,\ (x-3)(y+8)=480 \end{cases} Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy: $$\require{cancel} \left(\frac{480}{y}-3\right)(y+8)=480 \           ,\ \cancel{480}+\frac{3840}{y}-3y-24=\cancel{480} \           ,\ -3y-24+\frac{3840}{y}=0 \quad\bigg/\cdot y \           ,\ -3y^2-24y+3840=0 \quad\bigg/:(-3) \           ,\ y^2+8y-1280=0$$ Ostatnie dzielenie przez \(-3\) nie było konieczne, ale dzięki temu za chwilę będziemy działać na nieco mniejszych liczbach. Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego. Powstało nam równanie kwadratowe, które klasycznie obliczymy za pomocą delty: Współczynniki: \(a=1,\;b=8,\;c=-1280\) $$Δ=b^2-4ac=8^2-4\cdot1\cdot(-1280)=64-(-5120)=5184 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{5184}=72$$ $$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8-72}{2\cdot1}=\frac{-80}{2}=-40 \           ,\ y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-8+72}{2\cdot1}=\frac{64}{2}=32$$ Krok 4. Określenie liczby kartonów oraz róż w pojedynczym kartonie. Zacznijmy od liczby kartonów. Z równania kwadratowego wyszło nam, że \(y=-40\) oraz \(y=32\). Oczywiście ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo liczba kartonów nie może być ujemna. W związku z tym już wiemy, że \(y=32\), czyli że pierwotnie były \(32\) kartony. Musimy jeszcze obliczyć ilość róż, zatem korzystając z dowolnego równania z układu równań (np. z pierwszego) wyjdzie nam, że: $$x\cdot y=480 \           ,\ x\cdot32=480 \           ,\ x=15$$ To oznacza, że w pojedynczym kartonie znalazło się \(15\) róż, a samych kartonów było pierwotnie \(32\).

Teoria:      
W trakcie opracowania