Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa \(1\). Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci \(a+b\sqrt{c}\).

Odpowiedź:      

\(d=2-\sqrt{2}\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ułożenie równania. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro suma długości boku i przekątnej jest równa \(1\), to możemy ułożyć następujące równanie: $$a+a\sqrt{2}=1$$ Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu. Rozwiązywanie naszego równania zaczynamy od wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias: $$a+a\sqrt{2}=1 \           ,\ a\cdot(1+\sqrt{2})=1 \           ,\ a=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$$ Teraz musimy pozbyć się niewymierności z mianownika. Aby pozbyć się tej niewymierności to musimy licznik oraz mianownik pomnożyć przez \(1-\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco: $$a=\frac{1\cdot(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})\cdot(1-\sqrt{2})} \           ,\ a=\frac{1-\sqrt{2}}{1^2-\sqrt{2}^2} \           ,\ a=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2} \           ,\ a=\frac{1-\sqrt{2}}{-1} \           ,\ a=-1+\sqrt{2} \           ,\ a=\sqrt{2}-1$$ Krok 3. Obliczenie długości przekątnej kwadratu. Wiemy już, że nasz kwadrat ma bok o długości \(a=\sqrt{2}-1\), zatem przekątna tego kwadratu będzie miała długość: $$d=a\sqrt{2} \           ,\ d=(\sqrt{2}-1)\cdot\sqrt{2} \           ,\ d=2-\sqrt{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania